Comparison of Black-Scholes and Heston models

Abstract

The goal of this dissertation is to compare the Black-Scholes and the Heston model using Deterministic Volatility Functions (DVF) on option pricing. It is important to emphasize that consistency in the choice of loss functions is crucial. On one hand, for any given model, the loss function should be the same for the parameter estimation and model evaluation, otherwise suboptimal parameter estimates can happen. On the other hand, the estimation of loss functions should be identical across models, in order to avoid inappropriate comparisons. Therefore, it will be used three different loss functions in order to estimate and evaluate which of these option valuation models is the most accurate. The sample data contains S&P 500 Index options traded on Chicago Board Options Exchange (CBOE) and it was considered some exclusionary criteria as suggested by Dumas et al. (1998). The remaining data needed to price options was the risk-free rate for each option maturity and the S&P 500 estimated dividend-yield. For both models, the practical application starts with the usage of the Ordinary Least Squares (OLS), with the objective to minimize the Implied Volatility Root Mean Squared Error for each DVF. Secondly, the objective was to minimize the Dollar Root Mean Squared Error and the Percentage Root Mean Squared Error using the Non-linear Least Squares (NLS), for each DVF. For the Heston model, the parameters are estimated using the loss functions, to get the quoted option prices as close to the model option values as possible. After estimating the loss functions, the objective is to decide which model is the most accurate for option pricing.

O objetivo desta dissertação foca-se em comparar os modelos Black-Scholes e Heston através do uso de Funções Determinísticas de Volatilidade (DVF) na avaliação de opções financeiras. É importante enfatizar que a consistência na escolha das loss functions é crucial. Por um lado, a loss function deve ser a mesma para a estimação dos parâmetros e avaliação do modelo, caso contrário, podem acontecer estimativas de parâmetros abaixo do nível ideal. Por outro lado, a estimação das loss functions deve ser idêntica entre os modelos, de modo a evitar comparações inadequadas. Deste modo, serão utilizadas três diferentes loss functions para estimar e avaliar qual destes modelos de avaliação de opções é o mais preciso. Os dados da amostra contêm opções financeiras do índice S&P 500 negociadas na Chicago Board Options Exchange (CBOE) e foram considerados alguns critérios de exclusão sugeridos por Dumas et al. (1998). Os restantes dados necessários para proceder à avaliação das opções financeiras foram a taxa de risco para cada nível de maturidade da opção e o rendimento estimado de dividendos do S&P 500. Para ambos os modelos, a aplicação prática inicia-se com a utilização dos Ordinary Least Squares (OLS), com o objetivo de minimizar o erro médio quadrático da raiz da volatilidade implícita para cada DVF. Em segundo lugar, o objetivo foi minimizar o erro médio quadrático da raiz do dólar e o erro médio quadrático percentual usando o Non-linear Least Squares (NLS), para cada DVF. Para o modelo de Heston, os parâmetros são estimados utilizando as loss functions, para obter os preços das opções cotadas o mais aproximado possível dos valores das opções avaliadas no modelo. Após estimar as loss functions, o objetivo passa por decidir qual o modelo mais preciso para avaliação de opções financeiras.